<!DOCTYPE html>
<html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-0 vector-toc-not-available vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-0 skin-theme-clientpref-day vector-sticky-header-enabled" lang="de" dir="ltr"><head>
<meta charset="UTF-8">
<title>Propagator</title>
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
<link rel="icon" type="image/png" href="./_res_/favicon.png">
<link rel="canonical" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Propagator"> <link href="./_mw_/ext.cite.styles.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="./_mw_/ext.math.styles.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="./_mw_/ext.wikimediamessages.styles.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="./_mw_/skins.vector.icons.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="./_mw_/skins.vector.search.codex.styles.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="./_mw_/skins.vector.styles.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content="">
<link href="./_mw_/ext.gadget.citeRef.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="./_mw_/ext.gadget.defaultPlainlinks.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="./_mw_/ext.gadget.dewikiCommonHide.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="./_mw_/ext.gadget.dewikiCommonLayout.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="./_mw_/ext.gadget.dewikiCommonStyle.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="./_mw_/ext.gadget.dewikiDarkmode.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="./_mw_/ext.gadget.dewikiResponsive.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="./_mw_/ext.gadget.specialSearch.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="./_mw_/site.styles.css">
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="./_mw_/noscript.css">
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="./_res_/footer.css">
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="./_res_/vector-2022.css">
</head>
<body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject page-Propagator rootpage-Propagator skin-vector-2022 action-view">
<div class="mw-page-container">
<div class="mw-page-container-inner">
<div class="mw-content-container">
<main id="content" class="mw-body">
<header class="mw-body-header vector-page-titlebar">
<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Propagator</span></h1>
</header>
<a id="top"></a>
<div id="bodyContent" class="vector-body ve-init-mw-desktopArticleTarget-targetContainer" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container="">
<div id="contentSub">
<div id="mw-content-subtitle"></div>
</div>
<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p><b>Propagatoren</b> sind spezielle <a href="Greensche_Funktion" title="Greensche Funktion">Greensche Funktionen</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>G</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"></span>, also spezielle Lösungsfunktionen bestimmter <a href="Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung">partieller Differentialgleichungen</a>, wie sie in der Physik (etwa in der <a href="Quantenelektrodynamik" title="Quantenelektrodynamik">Quantenelektrodynamik</a>) vorkommen. Da Propagatoren an zwei Punkten <a href="Singularit%C3%A4t_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Singularität (Mathematik)">singulär</a> sind, werden sie auch <b>Zweipunktfunktionen</b> genannt. Sie können als <a href="Wahrscheinlichkeitsamplitude" class="mw-redirect" title="Wahrscheinlichkeitsamplitude">Wahrscheinlichkeitsamplitude</a> dafür interpretiert werden, dass ein <a href="Teilchen" title="Teilchen">Teilchen</a> bzw. eine <a href="Welle" title="Welle">Welle</a> von <i>x</i> nach <i>y</i> propagiert, d. h. sich ausbreitet, sich fortpflanzt bzw. fortschreitet. Je nach Differentialgleichung mit ihren <a href="Randbedingung" title="Randbedingung">Rand-</a> und <a href="Anfangsbedingung" title="Anfangsbedingung">Anfangsbedingungen</a> ergeben sich verschiedene Propagatoren, beispielsweise der Ein-Elektron-Propagator.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>
</p><p>In <a href="Feynmandiagramm" class="mw-redirect" title="Feynmandiagramm">Feynman-Diagrammen</a> werden Propagatoren bildlich-geometrisch (aber exakt) als Linien (und <a href="Vertex#Kern-_und_Teilchenphysik" title="Vertex">Vertices</a> als Knotenpunkte) dargestellt.
</p><p>Die Quantenelektrodynamik ist die quantisierte Form einer <a href="Feldtheorie_(Physik)" title="Feldtheorie (Physik)">Feldtheorie</a>, welche jeweils ein Maxwell- und ein Dirac-Feld enthält, die miteinander gekoppelt sind. Sowohl Elektron- als auch Photon-Propagator werden jeweils durch eine 4×4-<a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</a> dargestellt, da die zugehörigen <a href="Differentialoperator" title="Differentialoperator">Differentialoperatoren</a> ebenfalls aus 4×4-Matrizen bestehen und Propagator bzw. Greenfunktion sowie Differentialoperator zueinander <a href="Kehrwert" title="Kehrwert">reziprok</a> sind.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schrödinger-Propagator"><span id="Schr.C3.B6dinger-Propagator"></span>Schrödinger-Propagator</h2></div>
<p>Innerhalb der <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> wird die Zeitentwicklung durch den <a href="Zeitentwicklungsoperator" title="Zeitentwicklungsoperator">Zeitentwicklungsoperator</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>U</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"></span> beschrieben, welcher im Fall eines zeitunabhängigen <a href="Hamiltonoperator" title="Hamiltonoperator">Hamiltonoperators</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>H</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"></span> gegeben ist durch:
</p>
<dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U(t;t_{0}):=e^{-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}(t-t_{0})H}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>U</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>;</mo>
<msub>
<mi>t</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>:=</mo>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>−<!-- − --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">i</mi>
</mrow>
<mi class="MJX-variant">ℏ<!-- ℏ --></mi>
</mfrac>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<msub>
<mi>t</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mi>H</mi>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U(t;t_{0}):=e^{-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}(t-t_{0})H}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0f2342d37ee05b1f551874154aeded91c15ec02.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.321ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle U(t;t_{0}):=e^{-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}(t-t_{0})H}}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>
<p>Die <a href="Matrixelement_(Physik)" title="Matrixelement (Physik)">Matrixelemente</a> des Zeitentwicklungsoperators
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(x,t|x_{0},t_{0}):=\langle x|U(t;t_{0})|x_{0}\rangle ,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>G</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>,</mo>
<mi>t</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mi>t</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>:=</mo>
<mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mi>U</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>;</mo>
<msub>
<mi>t</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
<mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo>
<mo>,</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(x,t|x_{0},t_{0}):=\langle x|U(t;t_{0})|x_{0}\rangle ,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb8fd00690d2ca820b25327fcb310358e1a61682.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.366ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G(x,t|x_{0},t_{0}):=\langle x|U(t;t_{0})|x_{0}\rangle ,}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>bezeichnet man auch als <a href="Greensche_Funktion" title="Greensche Funktion">Greensche Funktion</a> oder <b>(Schrödinger-)Propagator</b>.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>
</p><p>In der <a href="Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Feynmanschen</a> Formulierung der Quantenmechanik mit <a href="Pfadintegral" title="Pfadintegral">Pfadintegralen</a> findet man den <b>Feynman-Propagator</b>, dessen <a href="Einheitsvektor" title="Einheitsvektor">Normierung</a> gerade so gewählt wird, dass er mit dem Schrödinger-Propagator übereinstimmt. Der Propagator liefert die <a href="Wellenfunktion" title="Wellenfunktion">Wahrscheinlichkeitsamplitude</a>, ein zum Zeitpunkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>t</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02d3006c4190b1939b04d9b9bb21006fb4e6fa4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{0}}" loading="lazy"></span> bei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"></span> lokalisiertes Teilchen zum Zeitpunkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>t</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span> bei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>x</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> zu finden.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zweite_Quantisierung">Zweite Quantisierung</h2></div>
<p>In <a href="Zweite_Quantisierung" title="Zweite Quantisierung">zweiter quantisierter Form</a> kann die Greenfunktion auch geschrieben werden als
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(x,t|x_{0},t_{0})=\langle {\hat {\psi }}(x,t)\;{\hat {\psi }}^{\dagger }(x_{0},t_{0})\rangle }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>G</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>,</mo>
<mi>t</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mi>t</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>=</mo>
<mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mover>
<mi>ψ<!-- ψ --></mi>
<mo stretchy="false">^<!-- ^ --></mo>
</mover>
</mrow>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>,</mo>
<mi>t</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mspace width="thickmathspace"></mspace>
<msup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mover>
<mi>ψ<!-- ψ --></mi>
<mo stretchy="false">^<!-- ^ --></mo>
</mover>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>†<!-- † --></mo>
</mrow>
</msup>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mi>t</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(x,t|x_{0},t_{0})=\langle {\hat {\psi }}(x,t)\;{\hat {\psi }}^{\dagger }(x_{0},t_{0})\rangle }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7cda1cc1a9a3c157c2ca623fbcad4e3030ec5afb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.638ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle G(x,t|x_{0},t_{0})=\langle {\hat {\psi }}(x,t)\;{\hat {\psi }}^{\dagger }(x_{0},t_{0})\rangle }" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \cdots \rangle }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo>
<mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
<mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \cdots \rangle }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5f2972bdee53d21209a7c5ffd5eff1537c43d08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.533ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \cdots \rangle }" loading="lazy"></span> für den <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> des <a href="Grundzustand" title="Grundzustand">Grundzustands</a> steht. Diese Form ist übertragbar auf die <a href="Vielteilchentheorie" title="Vielteilchentheorie">Vielteilchen</a>-Quantenmechanik, wobei sich nur die Ermittlung des Erwartungswerts eventuell ändert (<a href="Festk%C3%B6rperphysik" title="Festkörperphysik">Festkörperphysik</a>, <a href="Feynmandiagramm" class="mw-redirect" title="Feynmandiagramm">Feynmandiagramm</a>).
</p>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Atom-_und_Kernphysik">Atom- und Kernphysik</h3></div>
<p>In der <a href="Atomphysik" title="Atomphysik">Atom-</a> und <a href="Kernphysik" title="Kernphysik">Kernphysik</a> enthält der <a href="Grundzustand" title="Grundzustand">Grundzustand</a> im betrachteten System bereits reelle Teilchen (<a href="Proton" title="Proton">Protonen</a> und <a href="Neutron" title="Neutron">Neutronen</a> bzw. <a href="Elektron" title="Elektron">Elektronen</a>); außerdem existiert ein zusätzliches äußeres <a href="Potential_(Physik)" title="Potential (Physik)">Potential</a>. In <a href="Angeregter_Zustand" title="Angeregter Zustand">angeregten Zuständen</a> werden nur die bereits vorhandenen Teilchen in energetisch höhere Zustände des vorhandenen Potentials angehoben.
</p><p>Meist wird ein Propagator im <a href="Ortsraum" title="Ortsraum">Ortsraum</a> verwendet. Es treten oft Propagatoren auf, welche die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür angeben, dass ein System am Anfang ein zusätzliches Teilchen im angeregten Zustand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>q</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"></span> und am Ende im angeregten Zustand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>p</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> enthält:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{pq}(t,t'):=\langle 0\,|\,{\hat {T}}[{\hat {\psi }}_{p}(t)\;{\hat {\psi }}_{q}^{\dagger }(t')]\,|\,0\rangle }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>G</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>p</mi>
<mi>q</mi>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>,</mo>
<msup>
<mi>t</mi>
<mo>′</mo>
</msup>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>:=</mo>
<mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mo>
<mn>0</mn>
<mspace width="thinmathspace"></mspace>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mspace width="thinmathspace"></mspace>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mover>
<mi>T</mi>
<mo stretchy="false">^<!-- ^ --></mo>
</mover>
</mrow>
</mrow>
<mo stretchy="false">[</mo>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mover>
<mi>ψ<!-- ψ --></mi>
<mo stretchy="false">^<!-- ^ --></mo>
</mover>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>p</mi>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>t</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mspace width="thickmathspace"></mspace>
<msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mover>
<mi>ψ<!-- ψ --></mi>
<mo stretchy="false">^<!-- ^ --></mo>
</mover>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>q</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>†<!-- † --></mo>
</mrow>
</msubsup>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msup>
<mi>t</mi>
<mo>′</mo>
</msup>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo stretchy="false">]</mo>
<mspace width="thinmathspace"></mspace>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mspace width="thinmathspace"></mspace>
<mn>0</mn>
<mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{pq}(t,t'):=\langle 0\,|\,{\hat {T}}[{\hat {\psi }}_{p}(t)\;{\hat {\psi }}_{q}^{\dagger }(t')]\,|\,0\rangle }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6fcaf74573843090d6a674651adfb927d00afec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:34.505ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle G_{pq}(t,t'):=\langle 0\,|\,{\hat {T}}[{\hat {\psi }}_{p}(t)\;{\hat {\psi }}_{q}^{\dagger }(t')]\,|\,0\rangle }" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>Hierbei ist
</p>
<ul><li><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |0\rangle }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mn>0</mn>
<mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |0\rangle }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed066a3ad158da0ad6d6a421a606b1c8a35eb95b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.714ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |0\rangle }" loading="lazy"></span> der oben beschriebene Grundzustand</li>
<li><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {T}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mover>
<mi>T</mi>
<mo stretchy="false">^<!-- ^ --></mo>
</mover>
</mrow>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {T}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37fed66c5d4e05d936ce71a8feea9a7509b8cb1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.774ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {T}}}" loading="lazy"></span> der <a href="Zeitordnungsoperator" class="mw-redirect" title="Zeitordnungsoperator">Zeitordnungsoperator</a></li>
<li><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\psi }}_{p}(t)}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mover>
<mi>ψ<!-- ψ --></mi>
<mo stretchy="false">^<!-- ^ --></mo>
</mover>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>p</mi>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>t</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\psi }}_{p}(t)}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/851d69f89e59feab9d8e59d8c5adc85c593b6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:5.304ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\psi }}_{p}(t)}" loading="lazy"></span> ein Operator, der zur Zeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>t</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span> ein Teilchen im <a href="Quantenmechanischer_Zustand" class="mw-redirect" title="Quantenmechanischer Zustand">Zustand</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>p</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> vernichtet</li>
<li><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\psi }}_{q}^{\dagger }(t')}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mover>
<mi>ψ<!-- ψ --></mi>
<mo stretchy="false">^<!-- ^ --></mo>
</mover>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>q</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>†<!-- † --></mo>
</mrow>
</msubsup>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msup>
<mi>t</mi>
<mo>′</mo>
</msup>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\psi }}_{q}^{\dagger }(t')}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3779a0e4d62d4b6599bea7ce813f049db43ad8ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:5.918ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\psi }}_{q}^{\dagger }(t')}" loading="lazy"></span> ein Operator, der zur Zeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t'}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mi>t</mi>
<mo>′</mo>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t'}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a69b623f18f6b111645f0ec200b3271729fa99af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.524ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle t'}" loading="lazy"></span> ein Teilchen im Zustand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>q</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"></span> erzeugt.</li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quantenfeldtheorie">Quantenfeldtheorie</h3></div>
<p>In der <a href="Quantenfeldtheorie" title="Quantenfeldtheorie">Quantenfeldtheorie</a> ist der Grundzustand identisch zum <a href="Grundzustand#Quantenfeldtheorie" title="Grundzustand">Vakuum-Zustand</a>: ohne reelle Teilchen, allerdings mit <a href="Vakuumfluktuation" title="Vakuumfluktuation">Vakuumfluktuationen</a>. Zumindest für vernachlässigbare Kopplung unterscheidet sich ein angeregter Zustand vom Grundzustand durch die Zahl der (reellen) Teilchen; Teilchen werden sogar als Anregungszustände des zugehörigen Feldes interpretiert.
</p><p>Meist wird ein Propagator im <a href="Impulsraum" title="Impulsraum">Impulsraum</a> verwendet (im Wesentlichen die <a href="Fouriertransformierte" class="mw-redirect" title="Fouriertransformierte">Fouriertransformierte</a> des obigen Ausdrucks bezüglich Raum und Zeit; er beschreibt die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, dass sich ein Teilchen mit vorgegebener <a href="Energie" title="Energie">Energie</a> und <a href="Impuls" title="Impuls">Impuls</a> bewegt). Das einfachste Beispiel ist der Propagator für ein <a href="Klein-Gordon-Gleichung" title="Klein-Gordon-Gleichung">skalares Feld</a>, dessen <a href="Anregung" class="mw-disambig" title="Anregung">Anregungen</a> Teilchen mit Masse <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>m</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"></span> sind:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(p)={\frac {\mathrm {i} }{p^{2}-m^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>G</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>p</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">i</mi>
</mrow>
<mrow>
<msup>
<mi>p</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>−<!-- − --></mo>
<msup>
<mi>m</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">i</mi>
</mrow>
<mi>ϵ<!-- ϵ --></mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(p)={\frac {\mathrm {i} }{p^{2}-m^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6f70131d091ebb24fdd7343dfb99b47f9a38880.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.33ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle G(p)={\frac {\mathrm {i} }{p^{2}-m^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>Hierbei ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>p</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> der <a href="Viererimpuls" title="Viererimpuls">Viererimpuls</a> des Teilchens.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mehrteilchen-Propagatoren">Mehrteilchen-Propagatoren</h2></div>
<p>Gerade in der Atom- und Kernphysik werden oft auch Propagatoren verwendet, welche die Ausbreitung nicht nur eines, sondern mehrerer Teilchen gleichzeitig beschreiben. Ein Beispiel dafür ist der Polarisations-Propagator.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>
</p><p>Ein verwandtes Konzept sind Vielteilchen-Greenfunktionen; diese beschreiben aber i. A. nicht unbedingt eine Ausbreitung von Teilchen, sondern allgemeinere Konzepte. Beispielsweise dienen sogenannte Drei-Punkt-<a href="Vertex" title="Vertex">Vertex</a>-Funktionen zur Beschreibung der Wechselwirkung eines <a href="Elektron" title="Elektron">Elektrons</a> mit einem <a href="Photon" title="Photon">Photon</a>.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>
<ol class="references">
<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Jochen Schirmer: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">One-Particle Green’s Function</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Many-Body Methods for Atoms, Molecules and Clusters</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>94</span>. Springer International Publishing, Cham 2018, ISBN 978-3-319-93601-7, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>31–41</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-319-93602-4_3">10.1007/978-3-319-93602-4_3</a></span> (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-93602-4_3">springer.com</a> [abgerufen am 19. Februar 2023]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Propagator&rft.atitle=One-Particle+Green%E2%80%99s+Function&rft.au=Jochen+Schirmer&rft.btitle=Many-Body+Methods+for+Atoms%2C+Molecules+and+Clusters&rft.date=2018&rft.doi=10.1007%2F978-3-319-93602-4_3&rft.genre=book&rft.isbn=9783319936017&rft.pages=31-41&rft.place=Cham&rft.pub=Springer+International+Publishing&rft.volume=94" style="display:none"> </span></span>
</li>
<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">"The entity called the kernel here is often called the “propagator” or the “Green’s function.”" Quantum Mechanics and Path Integrals, Richard P. Feynman and Albert R. Hibbs, ISBN 0-486-13463-6 in den Anmerkungen</span>
</li>
<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Techniques and Applications of Path Integration, L. S. Schulman, Courier Dover Publications, 2012, ISBN 0-486-13702-3, S. 3,4 <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=Ps0DcDKAEmIC&lpg=PP1&dq=schulman+propagator+pathintegral&pg=PA3&hl=de#v=onepage&q&f=false">Google Books</a></span>
</li>
<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Jochen Schirmer: <cite style="font-style:italic">Polarization Propagator</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Many-Body Methods for Atoms, Molecules and Clusters</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>94</span>. Springer International Publishing, Cham 2018, ISBN 978-3-319-93601-7, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>195–204</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-319-93602-4_13">10.1007/978-3-319-93602-4_13</a></span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-93602-4_13">springer.com</a> [abgerufen am 19. Februar 2023]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Propagator&rft.atitle=Polarization+Propagator&rft.au=Jochen+Schirmer&rft.btitle=Many-Body+Methods+for+Atoms%2C+Molecules+and+Clusters&rft.date=2018&rft.doi=10.1007%2F978-3-319-93602-4_13&rft.genre=book&rft.isbn=9783319936017&rft.pages=195-204&rft.place=Cham&rft.pub=Springer+International+Publishing&rft.volume=94" style="display:none"> </span></span>
</li>
</ol></div><!--htdig_noindex--><div><div class="zim-footer">
Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2024-07-22" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Propagator&oldid=246993212">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.
</div>
</div><!--/htdig_noindex--></div>
</div>
</main>
</div>
</div>
</div>
<script src="./_webp_/webpHandler.js"></script>
</body></html>